В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
Определение матрицы и её элемента. Обозначения.
Матрица - это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $\left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $\left(\begin{array} {cccc} a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end{array} \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.
Разные способы записи матриц: показать\скрыть
Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:
$$ \left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right);\;\; \left[ \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right]; \;\; \left \Vert \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right \Vert $$
Произведение $m\times n$ называют размером матрицы . Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ имеет размер $3 \times 2$.
Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов - слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.
Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ - это номер строки, а число $j$ - номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=\left(\begin{array} {cccccc} 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end{array} \right)$ расположен элемент $a_{25}=59$:
Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_{11}=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца - элемент $a_{32}=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_{32}$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".
Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_{m\times n}$. Нередко используется и такая запись:
$$ A_{m\times{n}}=(a_{ij}) $$
Здесь $(a_{ij})$ указывает на обозначение элементов матрицы $A$, т.е. говорит о том, что элементы матрицы $A$ обозначаются как $a_{ij}$. В развёрнутом виде матрицу $A_{m\times n}=(a_{ij})$ можно записать так:
$$ A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) $$
Введём еще один термин - равные матрицы .
Две матрицы одинакового размера $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называются равными , если их соответствующие элементы равны, т.е. $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть
Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$, поскольку $a_{21}\neq c_{21}$ (т.е. $0\neq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.
Пример №1
Определить размер матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end{array} \right)$. Указать, чему равны элементы $a_{12}$, $a_{33}$, $a_{43}$.
Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_{5\times 3}$.
Элемент $a_{12}$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_{12}=-2$. Элемент $a_{33}$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_{33}=23$. Элемент $a_{43}$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_{43}=-5$.
Ответ : $a_{12}=-2$, $a_{33}=23$, $a_{43}=-5$.
Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
Пусть задана некая матрица $A_{m\times n}$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка . Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец . Например, $\left(\begin{array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end{array} \right)$ - матрица-строка, а $\left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)$ - матрица-столбец.
Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m\neq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ - прямоугольная матрица. Например, матрица $\left(\begin{array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end{array} \right)$ имеет размер $2\times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.
Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ - квадратная матрица порядка $n$. Например, $\left(\begin{array} {cc} -1 & -2 \\ 5 & 9 \end{array} \right)$ - квадратная матрица второго порядка; $\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right)$ - квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_{n\times n}$ можно записать так:
$$ A_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) $$
Говорят, что элементы $a_{11}$, $a_{22}$, $\ldots$, $a_{nn}$ находятся на главной диагонали матрицы $A_{n\times n}$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_{1n}$, $a_{2 \; n-1}$, $\ldots$, $a_{n1}$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали ; их называют побочными диагональными элементами . Например, для матрицы $C=\left(\begin{array}{cccc}2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end{array}\right)$ имеем:
Элементы $c_{11}=2$, $c_{22}=9$, $c_{33}=4$, $c_{44}=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_{14}=1$, $c_{23}=8$, $c_{32}=0$, $c_{41}=-4$ - побочные диагональные элементы.
Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $\Tr A$ (или $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn} $$
Например, для матрицы $C=\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end{array}\right)$ имеем:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=\left(\begin{array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end{array} \right)$ главными диагональными элементами будут $b_{11}=2$, $b_{22}=-9$, $b_{33}=4$.
Виды матриц в зависимости от значений их элементов.
Если все элементы матрицы $A_{m\times n}$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $\left(\begin{array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - нулевые матрицы.
Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы $A$, т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:
$$W=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end{array}\right)$$
Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. $w_{24}=12$, а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. $w_{32}=-9$.
Матрица $A_{m\times n}=\left(a_{ij}\right)$ называется ступенчатой , если она удовлетворяет двум условиям:
- Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
- Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если $a_{1k_1}$, $a_{2k_2}$, ..., $a_{rk_r}$ - ведущие элементы ненулевых строк матрицы $A$, то $k_1\lt{k_2}\lt\ldots\lt{k_r}$.
Примеры ступенчатых матриц:
$$ \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right);\; \left(\begin{array}{cccc} 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end{array}\right). $$
Для сравнения: матрица $Q=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end{array}\right)$ не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках $q_{24}=7$ и $q_{32}=10$ имеют номера $k_2=4$ и $k_3=2$. Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие $k_2\lt{k_3}$, которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: $\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end{array}\right)$.
Ступенчатую матрицу называют трапециевидной или трапецеидальной , если для ведущих элементов $a_{1k_1}$, $a_{2k_2}$, ..., $a_{rk_r}$ выполнены условия $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r=r$, т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:
$$ A_{m\times{n}} =\left(\begin{array} {cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1r} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2r} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{rr} & \ldots & a_{rn}\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end{array}\right) $$
Примеры трапециевидных матриц:
$$ \left(\begin{array}{cccccc} 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right);\; \left(\begin{array}{cccc} 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end{array}\right). $$
Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это несущественно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже верхняя треугольная матрица.
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это неважно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right)$ и $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже нижние треугольные матрицы.
Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), - это несущественно.
Диагональная матрица называется единичной , если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица четвёртого порядка; $\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица второго порядка.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра « Информатика и прикладная математика»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ
ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Математика
Направление подготовки (специальность): 040400Социальная работа (уровень бакалавриата)
Профиль образовательной программы Социальная работа
Форма обучения: заочная
Оренбург 2016 г.
1. Конспект лекций ……………………………………………………...
1.1 Лекция № 1 ……………………....................................
1.2 Лекция № 2 …………………………………….
1.3 Лекция № 3 ………………………………………
1.4 Лекция № 4 ………………………………………………….
1.5 Лекция № 5 ……………………
1.6 Лекция № 6 ………………………………………..
1.7 Лекция № 7 ……………………………………………………………………..….
1.8Лекция № 8 .……………………...…………………………….
Лекция № 9
2. Методические указания по проведению практических занятий ………
2.1 Практическое занятие №ПЗ -1 ………………….
2.2 Практическое занятие №ПЗ -2 ……………………
2.3 Практическое занятие №ПЗ -3 ……………………...
2.4 Практическое занятие №ПЗ -4 ……………………...
2.5 Практическое занятие №ПЗ -5 ……………………..
2.6 Практическое занятие №ПЗ -6 ………………………………………………….
2.7 Практическое занятие №ПЗ -7 …………………………………………………….
2.8 Практическое занятие №ПЗ -8 …………………………………………………...
2.9 Практическое занятие №ПЗ -9 ……………………………………………………...
2.10 Практическое занятие №ПЗ -10 …………………..
2.11 Практическое занятие №ПЗ -11 ……………………..
2.12 Практическое занятие №ПЗ -12 ………………………………………………..
2.13 Практическое занятие №ПЗ -13 ………………………………………………….
2.14 Практическое занятие №ПЗ -14-15 ………………………………………………
2.15 Практическое занятие №ПЗ - 16 ………………
2.16Практическое занятие №ПЗ - 17 ………………
2.17Практическое занятие №ПЗ - 18 ………………
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
1.1Лекция 1 (2 ч.)
Тема:Элементы теории матиц и определителей. Элементы линейной алгебры. Элементы аналитической геометрии
1.1.1 Вопросы лекции:
1.Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами.
2. Определители 2-го и 3-го порядка, способы вычисления.
3. Системы линейных уравнений, методы решения.
4. Уравнение прямой на плоскости, способы задания прямой на плоскости.
1.1.2. Краткое содержание вопросов:
Матрицы, их классификация, арифметические действия над матрицами.
Матрицей называют таблицу, состоящую из n строк и m столбцов. Элементами матрицы могут быть числа или иные математические объекты.
A= 
B= 
C= 
Прямоугольная таблица, содержащая т строкип столбцов действительных чисел называется числовойматрицей.
А m ´ n = 
.
Числа а ij , составляющие матрицу, называются ее элементами , где i=1,2,…m номер строки, j=1,2,…n номер столбца.
Матрицы обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…, элементы строчными буквами.
Если число строк и столбцов одной матрицы равно числу строк и столбцов другой матрицы, то они называются одноразмерными матрицами.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей . Квадратную матрицу размером n´n называют матрицей n-ого порядка .
А 2 ´ 2 = 
- квадратная матрица 2-ого порядка
а 11 , а 22 элементы главной диагонали
а 12, а 21 элементы побочной диагонали
А 3 ´ 3 = 
квадратная матрица 3-его порядка
а 11 , а 22 , а 33 элементы главной диагонали
а 13, а 22 , а 31 элементы побочной диагонали
Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется треугольной матрицей.
Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей.
В= 
Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.
Диагональная матрица, все ненулевые элементы которой равны 1, называется единичной матрицей.
Е= 
единичная матрица 3-его порядка
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей (0).
А= 
; В=
Матрица размера 1´1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е.(5) 1 ´ 1 есть 5.
Одноразмерные матрицы равны между собой , если равны все соответствующие элементы этих матриц.
Квадратная матрица А -1 называется обратной по отношению к матрице А. тогда и только тогда, когда А*А -1 =А -1 *А=Е
Хотя обычно исследователи обращаются к классификации как к средству предсказания принадлежности к классу «неизвестных» объектов, мы можем использовать ее также для проверки точности процедур классификации. Для этого возьмем «известные» объекты (которыми мы пользовались при выводе классифицирующих функций) и применим к ним правила классификации. Доля правильно классифицированных объектов говорит о точности процедуры и косвенно подтверждает степень разделения классов. Можно составить таблицу, или «классификационную матрицу», описывающую результаты. Это поможет нам увидеть, какие ошибки совершаются чаще.
Таблица 12. Классификационная матрица
Таблица 12 представляет собой классификационную матрицу для данных о голосовании в сенате. Шесть переменных Бардес правильно предсказывают распределение по фракциям всех сенаторов (кроме Кейпхарта), чья фракционная принадлежность «известна». Точность предсказания в этом случае - 94,7% (сумма правильных предсказаний - 18, поделенная на общее число «известных» объектов). Мы также видим, что ошибки в этом примере связаны с плохим разделением групп 1 и 4. В нижней строке табл. 12 дано распределение по группам «неизвестных» объектов. Это те сенаторы, чью фракционную принадлежность Бардес не смогла определить по имеющимся у нее данным. Ее главной целью было использовать дискриминантный анализ для классификации позиций этих сенаторов по результатам их голосования, после чего она продолжила исследование отношения сената к различным вариантам помощи иностранным государствам.
Процент «известных» объектов, которые были классифицированы правильно является дополнительной мерой различий между группами. Им мы воспользуемся наряду с общей Л-статистикой Уилкса и каноническими корреляциями для указания количества дискриминантной информации, содержащейся в переменных. Как непосредственная мера точности предсказания это процентное содержание является наиболее подходящей мерой дискриминантной информации. Однако о величине процентного содержания можно судить лишь относительно ожидаемого процента правильных классификаций, когда распределение по классам производилось случайным образом. Если есть два класса, то при случайной классификации можно ожидать 50% правильных предсказаний. Для четырех классов ожидаемая точность составит только 25%. Если для двух классов процедура классификации дает 60% правильных предсказаний, то ее эффективность довольна мала, но для четырех классов такой же результат говорит о значительной эффективности, потому что случайная классификация дала бы лишь 25% правильных предсказаний. Это приводит нас к -статистике ошибок, которая будет стандартизованной мерой эффективности для любого количества классов:
где - число правильно классифицированных объектов, а - априорная вероятность принадлежности к классу.
Выражение представляет собой число объектов, которые будут правильно предсказаны при случайной классификации их по классам пропорционально априорным вероятностям. Если все классы считаются равноправными, то априорные вероятности полагаются равными единице, деленной на число классов. Максимальное значение -статистики равно 1 и оно достигается в случае безошибочного предсказания. Нулевое значение указывает на неэффективность процедуры, -статистика может принимать и отрицательные значения, что свидетельствует о плохом различении или вырожденном случае. Поскольку должно быть целым числом, числитель может стать отрицательным чисто случайно, когда нет различий между классами.
